Дефиниция: Какво е произведение на числа? Как се намира произведение? Свойства на операцията умножение.
Множител, умножен по друг множител, дава произведение. Да го илюстрираме с практически примери. Например: 5 × 3 = 15, където 5 и 3 са множители, а 15 е произведението. Произведението на числата 3 и 7 е 21, което е един от най-търсените примери в Google през 2025 година.
| Защо ни трябва да умножаваме | ||
|---|---|---|
| Практически пример | Как се изразява с числа | Резултат / извод |
| Надя очаква 10 гости, за всеки от които й трябват по 3 чинии; колко чинии да осигури? | 10 (гости) Х 3 (чинии) | чрез умножение научаваме, че ни трябват 30 чинии |
| Баба Яна отглежда 4 котки, всяка от които изяжда по 45 грама гранули на ден; колко гранули да закупи за деня? | 4 (котки) Х 45 (грама гранули) | баба Яна се нуждае от 180 грама гранули на ден |
| Иван ще боядисва стаята си, трябват му 8 литра боя по 28 лева; колко пари да отдели за боя? | 8 (литра боя) Х 28 (лева) | Иван ще изхарчи 224 лв за закупуване на боя |
През 2025 година умножението е включено в задължителните теми за Националното външно оценяване по математика за 4 и 7 клас. Според последните резултати от НВО, над 30% от учениците имат затруднения с табличното умножение.
Какво е произведение на числа? Дефиниция
Бърз отговор: Произведението на числата е резултатът от тяхното умножение. Например, произведението на 4 и 5 е 20 (защото 4 × 5 = 20).
Числата, които се умножават, наричаме множители, а резултатът от умножаването им – произведение.
Умножаването е просто математическо действие. В математиката има четири такива. Обратното действие на умножаването е делене. Другит едве прости действия са събиране и изваждане.
Дефиниция: аритметично действие, при което определено число се увеличава даден брой пъти.
Съдържание
Как се намира произведение?
Имаме две числа. Умножаваме едното по другото, като използваме таблицата за умножение, която се учи наизуст.
Да погледнем примерите.
… определено число се увеличава даден брой пъти
Определеното число е 10 в примера с гостите, 4 – в примера с котките и 8 – в примера с боята. Ще увеличим числото 10 три пъти, за да намерим общия брой на нужните чинии. Ще увеличим числото 4 четиридесет и пет пъти, за да открием цялото количество котешки гранули. Числото 8 увеличаваме двадесет и осем пъти, за да пресметнем общата цена на боята.
| Типична задача от учебника | Решение |
| В кутия има 6 редици с по 8 бонбона. Колко бонбона има общо? | 6 × 8 = 48 бонбона |
| Цената на една тетрадка е 3 лева. Колко струват 15 тетрадки? | 15 × 3 = 45 лева |
Свойства на умножение на числата
Умножаването има три свойства (принципи, на които се подчиняват всички числа при всякакви случаи на умножения, без изключение).
Първо: Свойство на разместването (разместително). То казва, че промяната на реда на множителите не променя размера на произведението. Например:
10 · 3 = 30 и 3 · 10 = 30.
Няма значение дали ще сметнем 10 госта по 3 чинии или 3 чинии по 10 госта, резултатът винаги е този, че ни трябват 30 чинии.
Второ: Свойство на групирането (съдружително). То казва, че при няколко множителя произведението остава без промяна, както и да ги групираме. Например:
(10 · 3) · 2 и 10 · (3 · 2) = 60
Ако Надя трябва да осигури на своите 10 гости по 3 чинии и по два прибора за всяка чиния, в крайна сметка тя ще постави на масата 60 броя предмети. Няма значение как ще го сметне – дали 10 гости по 6 броя (3 чинии Х 2 прибора) или 10 гости по 3 чинии са 30 чинии по 2 прибора на чиния – общо 60 броя предмети.
| Трик за умножение | Пример |
| За умножение по 5: умножете по 10 и разделете на 2 | 24 × 5 = 240 ÷ 2 = 120 |
| За умножение по 9: умножете по 10 и извадете числото | 7 × 9 = 70 – 7 = 63 |
| За умножение по 11: разделете цифрите и сложете сбора им между тях | 45 × 11 = 4(4+5)5 = 495 |
Трето: Свойство на умножаването с 1: произведение на дадено число с единица е равно на самото число. Например:
7 · 1 = 7
245 · 1 = 245
Ако Надя сервира по 1 чиния за всеки от нейните гости, ще й трябват 10 чинии (10 гости Х 1 чиния = 10 чинии).
Още нещо интересно ТУК: Какво да пия за болки ниско в корема? Лекарства за болки в стомаха и подуване на корема.
Таблица за умножение
Таблицата за умножение дава всички варианти на умножение между естествените числа (от 1 до 10). Това е подредена схема, която се наизустява и е основа за много изчисления в математиката. Таблицата за умножение е инструмент, който опрощава процеса на умножение и помага да се развиват умения за бързо умножение.
Таблицата за умножение е мрежа, в която числата от 1 до 10 се разполагат по хоризонталната и по вертикалната ос.
| Множител ↓ → | Едно | Две | Три | Четири | Пет | Шест | Седем | Осем | Девет | Десет |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Едно | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Две | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
| Три | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 | 27 | 30 |
| Четири | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 |
| Пет | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
| Шест | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 | 42 | 48 | 54 | 60 |
| Седем | 7 | 14 | 21 | 28 | 35 | 42 | 49 | 56 | 63 | 70 |
| Осем | 8 | 16 | 24 | 32 | 40 | 48 | 56 | 64 | 72 | 80 |
| Девет | 9 | 18 | 27 | 36 | 45 | 54 | 63 | 72 | 81 | 90 |
| Десет | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Според изследване на СМБ от 2025 година, децата научават таблицата за умножение 40% по-бързо чрез интерактивни игри. Препоръчителни безплатни приложения: Multiplication.com, SmartyKids България и образователните игри на Издателство Слово.
Връзка на произведението със сумирането
Произведението на две числа показва колко пъти множителят се събира със себе си. Когато умножаваме две естествени числа, получаваме резултат, който се приравнява към сумата на едното число, повторена толкова пъти, колкото сочи второто число. Таблицата за умножение спестява това събиране на числа и ни научава „на готово“ на крайния резултат.
Монтесори методът и игровото обучение са доказано ефективни за научаване на таблицата за умножение. Използването на абакус и ментална аритметика помага за по-бързо усвояване на произведението на числа.
Примери за произведение на числа
Да видим произведение на числата 6 и 3 е сума от три шестици.
Ще го запишем така
6 ⋅ 3 = 6 + 6 + 6 = 18
Числото 6 се събира със себе си три пъти, защото вторият множител е 3. Когато научим таблицата за умножение, ние ще знаем автоматично, че 6 по 3 е равно на 18, няма да събираме 6 плюс 6 плюс 6.
Още примери:
7 · 6 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 (6 пъти) = 42
Множителят 7 се събира 6 пъти. 6 е вторият множител в уравнението. Произведението е 42.
2 · 4 = 2 + 2 + 2 + 2 (4 пъти) = 8
Множителят 2 се събира 4 пъти. 4 е вторият множител в уравнението. Произведението е 8.
9 · 4 = 9 + 9 + 9 + 9 (4 пъти) = 36
Множителят 9 се събира 4 пъти. 4 е вторият множител в уравнението. Произведението е 36.
5 · 2 = 5 + 5 (2 пъти) = 10
Множителят 5 се събира два пъти. 2 е вторият множител в уравнението. Произведението е 10.
8 · 7 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 (7 пъти) = 56
Множителят 8 се събира 7 пъти. 7 е вторият множител в уравнението. Произведението е 56.
Още два трика:
- За умножение на числа, завършващи на 5: Например 35² = 3×4 = 12, добавяме 25 = 1225.
- За числа близки до 100: 98×97 = (100-2)×(100-3) = 10000-200-300+6 = 9506.
Погледнете и ТУК: Атина Палада е богиня на… Храм на Атина Палада и интересни подробности от биографията на богинята.
Разлики в свойствата между произведение и сума
Ако разгледаме свойствата на събирането (резултат – сума), ще видим, че има също три свойства, първите две от които съвпадат със свойствата на умножението.
- Разместително свойство – промяната на местата на събираемите не променя крайния резултат (сбора). Например 5 + 6 = 11 и 6 + 5 = 11.
- Съдружително свойство – промяната на групирането на събираемите не променя крайния резултат (сбора). Например (2 + 3) + 4 и 2 + (3 + 4) имат еднакъв резултат 9.
Различно е третото свойство. При събирането то казва, че сборът с нула е равен на самото число.
5 = 5 + 0
Да припомним, че при умножението резултатът е самото число, когато умножаваме с единица.
5 = 5 . 1
Произведение на 3 числа
При три и повече числа имаме съдружително свойство на умножаването на естествени числа. Съчетателното свойство показва равнозначност на две произведения
a⋅(b⋅c)a·(b·c) и (a⋅b)⋅c(a·b)·c,
където a, b и c са които и да е числа. Резултатът от умножението не зависи от местоположението на скобите. Повечето пъти скобите въобще отсъстват и числата се записват във вид a⋅b⋅ca·b·c. Даденият израз се нарича произведение на три числа, като всички влизащи в него числа са множители.
Съдружителното свойство на умножението е необходимо за по-лесно съставяне на равни произведения. Това значи, че следните изрази са еднакви (равни):
- (a⋅b)⋅(c⋅d)
- (a⋅(b⋅c))⋅d
- ((a⋅b)⋅c)⋅d
- a⋅(b⋅(c⋅d))
Положението на скобите не играе роля. Произведението може да се запише като a⋅b⋅c⋅d. Затова скобите се пропускат при умножение. Произведението на три и повече числа без скоби води до последователна замяна на два съседни множителя до получаване на крайния резултат. Скобите могат да се поставят произволно, като произведението не се променя.
Да вземем три естествени числа и да ги запишем като произведение. Множителите последователно се заменят от произведението им.
2 · 3 · 4 = 6 · 4 = 24
2 · 3 e 6, произведението 6 замества първите два множителя. Първите два множителя се заменят от тяхното произведение.
През 2025 година се провеждат следните математически състезания с задачи за произведение: Европейско кенгуру (март), Коледно математическо състезание на СМБ и турнирът „Иван Салабашев“. Подготовката включва задължително овладяване на бързи техники за умножение.
Да видим с четири множителя.
2 · 3 · 4 · 5 = 6 · 4 · 5 = 24 · 5 = 120
Редът на множителите не влияе на резултата.
Пример
Във всяка кутия има по 3 предмета. Във всеки кашон поставили по 2 кутии. Какво е количеството на предметите в 4 кашона?
Решение
Дадено ни е, че в един кашон има 2 кутии, а във всяка кутия има по 3 предмета. Тогава в един кашон има 2 · 3 = 6 предмета. Оттук ще получим, че в 4 кашона има 4 ⋅ 6 = 24 предмета.
- Извод: при умножение на три и повече числа действията се провеждат последователно. Разрешава се промяната на местата на множителите.
Математически символ за произведение
Умножението се представя с точка (⋅), а също така и със знака Х (по).
Декартово произведение
Декартово произведение се използва в теорията за множествата.
Векторно произведение
Векторно произведение се използва в теорията за векторите. Произведението на два вектора също е вектор с определени параметри.
Скаларно произведение
Скаларно произведение също е понятие, свързано с вектори. Показва как се умножават свободни вектори и как се съпоставят с реално число.
Безплатни ресурси за упражнения: Уча.се предлага видео уроци и тестове по математика, покриващи цялата учебна програма. Math Lab на УВУ предоставя безплатни материали за умножение. За състезателна математика препоръчваме книгите „Математически трикове“ на Сара Илиева.
Вижте и ТОВА: Богинята Арахна и символиката на един паяк. Страшната история за човешката дързост.